a) Do \(DC,DA\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(DA = DC\).
Do \(EC,EB\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(CE = BE\).
Lại có: \(DC + CE = DE\) suy ra \(DA + EB = DE\).
b) Do \(DC,DA\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OD\) là tia phân giác của góc \(COA\).
Suy ra \(\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\).
Do \(EC,EB\) cùng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OE\) là tia phân giác của góc \(COB\).
Suy ra \(\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\).
c) Ta có: \(\widehat {COA} + \widehat {COB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).
Suy ra \(\frac{1}{2}\left( {\widehat {COA} + \widehat {COB}} \right) = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ\)
Do đó \(\frac{1}{2}\widehat {COA} + \frac{1}{2}\widehat {COB} = 90^\circ .\)
Mà \(\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}\),\(\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}\) nên \(\widehat {COD} + \widehat {COE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DOE} = 90^\circ \).
Vậy tam giác \(ODE\) vuông tại \(O\).
d) Vì \(DE\) là tiếp tuyến của \((O)\) nên \(DE \perp CO\)
Suy ra \( \widehat{DCO} = 90^\circ\)
Xét \(\Delta ODE\) và \(\Delta CDO\) có:
\(\widehat{DOE} = \widehat{DCO} = 90^\circ\)
\(\widehat{ODE}\) (góc chung)
suy ra \(\Delta ODE \backsim \Delta CDO\) (g.g)
Do đó \( \frac{OE}{OC} = \frac{DE}{OD}\)
Dẫn đến \(OE \cdot OD = DE \cdot OC\)
Suy ra \(\frac{{OD.OE}}{{DE}} = OC\).
hay \(\frac{{OD.OE}}{{DE}} = R\). (đpcm)