Giao tuyến của hai mặt phẳng

1. Bài toán

Viết phương trình của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$ và $(Q):A'x+B'y+C'z+D'=0$

2. Phương pháp

2.1. Phương pháp 1 :

$\bullet$ Tìm các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là $\overrightarrow{n}_P,\overrightarrow{n}_Q$

$\bullet$ Tìm vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}_d$ của đường thẳng d

$\left.\begin{matrix} \overrightarrow{n}_P \perp \overrightarrow{u}_d \\\\ \overrightarrow{n}_Q \perp \overrightarrow{u}_d \end{matrix}\right\}\Rightarrow \overrightarrow{u}_d=\left [ \overrightarrow{n}_P,\overrightarrow{n}_Q \right ]$

$\bullet$ Tìm $M \in d$

$M \in (P), M \in (Q)$

Tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ : $\left\{\begin{matrix} Ax+By+Cz+D=0 \\\\ A'x+B'y+C'z+D'=0 \end{matrix}\right.$

$\bullet$ Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M và có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}_d$

Oxyz.duongthang9.jpg

2.2. Phương pháp 2 :

$\bullet$ Đặt $x=t$ (hoặc đặt y, z)

$\bullet$ Tìm y, z từ hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} By+Cz=-At-D \\\\ B'y+C'z=-A't-D' \end{matrix}\right.$

$\bullet$ Viết phương trình của đường thẳng d

3. Ví dụ

Viết phương trình của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):x+y-z+1=0=0$ và $(Q):3x+y+z-3=0=0$

Giải

Áp dụng cách giải 2

$\bullet$ Đặt $x=t$

$\bullet$ Tìm y, z từ hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} y-z=-t-1 \\\\ y+z=-3t+3 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-2t+1 \\\\ z=-t+2 \end{matrix}\right.$

$\bullet$ Viết phương trình của đường thẳng d

$\left\{\begin{matrix} x=&t \\\\y=&1-2t \\\\ z=&2-t \end{matrix}\right.$

4. Bài tập

Làm bài